近日，德国歌德大学的物理学家在超冷量子气体的帮助下，对于拓扑绝缘体进行了建模，并演示了如何通过实验方法检测到边缘态。

背景

2016年诺贝尔物理学奖授予了三位科学家：戴维·索利斯（David J.Thouless）、邓肯·霍尔丹（F. Duncan M. Haldane）和迈克尔·科斯特利茨（J. Michael Kosterlitz），以表彰他们在拓扑相变和物质拓扑相方面的开创性工作。

什么是“拓扑相变”？

这个问题太深奥，但是我们可以从“拓扑”和“相变”两个方面分别去看。

拓扑拓扑学（topology），是研究“几何图形”或“空间”在连续改变形状之后还能保持不变的一些性质的学科。它只考虑物体间的位置关系，而不考虑它们的形状和大小。

“连续改变形状”，就是允许几何图形产生伸缩和扭曲等变形，但不允许撕裂和粘合。因此，拓扑学又被形象地比喻为“橡皮膜上的几何学”。比方说，我们在橡皮膜上画一个图形，然后任意地拉扯甚至扭曲，但不能撕裂和粘合。随着橡皮膜拉动，橡皮膜上图形的长度、曲直、面积等都将发生变化，但也有一些图形的性质保持不变。这种在拓扑变换过程中保持不变的性质，称为图形的拓扑性质。

下图所示：甜甜圈能变成咖啡杯形状，小牛玩具也能变成球的形状。也就是说，甜甜圈表面的拓扑与咖啡杯表面的拓扑一致，小牛玩具表面的拓扑与球表面的拓扑也一致。

（图片来源：维基百科）

因此，如果一个闭合曲面能连续变换到另一个闭合曲面，我们就称这两个曲面是拓扑等价的（同一个拓扑相）。否则，我们认为它们是拓扑不等价的，需要“相变”才可以相互转换。

相变日常生活中，我们最常见的“相”是气态、液态和固态。此外，在一些非常特殊的条件下，比如极高的温度或者极低的温度条件下，我们还会见到许多更为奇异的状态，例如等离子态、量子凝聚态等。

（图片来源：维基百科）

（图片来源：Johan Jarnestad/瑞典皇家科学院）

相变，是指物质在外界条件连续变化时，从一种“相”突然变成另一种“相”的过程，比如冰融化成水，水凝结成冰等。相应地，物质拓扑性质的变化，就称为“拓扑相变”。然而，拓扑相变不同于“冰与水”的普通相变。在拓扑相变中，起主导作用的是平面材料中的小“漩涡”。在低温条件下，它们紧密地配成一对。当温度升高时，相变就发生了：两个涡旋彼此分离，独自在材料中“扬帆起航”。

（图片来源：Johan Jarnestad/瑞典皇家科学院）

当载流子在磁场作用下的二维平面中运动时，因为受到磁场产生的洛伦兹力的作用，粒子的运动轨迹产生偏移并在材料两侧积累电荷，形成垂直于电流方向的电场，最终使载流子受到的洛仑兹力与电场斥力相平衡，这种现象被称为“霍尔效应”。

1980年，克劳斯·冯·克利青（Klaus von Klitzing）研究发现，在低温和强磁场的极端条件下，随着磁场强度的增加，霍尔电导的值增加并不像经典物理学所预测的那样是渐进的或线性的，而是呈阶梯式上升的，也就是量子化的，即为e2/h的整数倍，这就是所谓的“量子霍尔效应”。这一发现也让冯·克利青获得了1985年的诺贝尔物理学奖。

1983年，索利斯意识到，这个现象也需要用拓扑学解释。电导率需要用到所有这些电子的整体特性，这正是拓扑学的领域。就像拓扑学图形中的“洞”只能是整数个，而电导率也只能以整数倍变化。

（图片来源：Johan Jarnestad/瑞典皇家科学院）

“拓扑相变和物质拓扑相”方面的开创性工作，为材料科学的研究带来了革命性的影响以及新的机遇。拓扑绝缘体便是一个很好的例子。

通常来说，根据导电性不同，材料可分为“导体”和“绝缘体”两大类。更进一步说，根据电子态的拓扑性质不同，“导体”和“绝缘体”还可以再进行更细致的划分，“拓扑绝缘体”就是这样划分而来的。不同于普通绝缘体，拓扑绝缘体的内部是绝缘的，而边界或表面却是可以导电的。

在拓扑绝缘体内部，电子能带结构与普通绝缘体相似，其费米能级位于导带和价带之间。可是，在拓扑绝缘体的表面却存在一些特殊的量子态：受拓扑保护的边缘态。这些量子态位于块体能带结构的带隙之中，允许电子传导。这些量子态可以用类似拓扑学中的亏格的整数表征。以实的闭曲面为例，亏格就是曲面上洞眼的个数。

下图为拓扑绝缘体的能带示意图。（图片来源：维基百科）

这种边缘态在保证一定对称性（比如时间反演对称性）的前提下稳定存在的，且自旋方向不同的导电电子的运动方向是相反的，所以信息可以通过电子自旋传输，而且不像通过电荷传输那样会发热。这一发现有望带来低能耗的新一代自旋电子器件。

创新

然而，迄今为止，拓扑绝缘体的特性仍然未被完整理解。

近日，德国歌德大学的物理学家在超冷量子气体的帮助下，对于拓扑绝缘体进行了建模。在最近一期的《物理评论快报（Physical Review Letters）》期刊上，他们演示了如何通过实验方法检测到边缘态。

下图所示：在光学晶体中的人造边缘，其中填充着超冷量子气体。这些气体由“自旋向上”（红）与“自旋向下”（绿）的粒子组成。沿着边缘（也只有这样），“自旋向上”的粒子只能流向左，而“自旋向下”的粒子只能流向右。

（图片来源：Bernhard Irsigler）

技术

例如，在一个由拓扑绝缘体制成的“碟”中，电流沿着拓扑绝缘体的表面向着同一个方向流动。论文第一作者 Bernhard Irsigler 表示：“这使得量子粒子畅行无阻，因为向着其他方向流动的状态不存在。”换句话说，在边缘态中，电流畅通无阻。比如说，这种效应可以用于提升移动设备（例如智能手机）的稳定性以及降低其能耗。此外，研究人员也在研究如何利用它构建更加高效的激光器。

近年来，拓扑绝缘体也在超冷量子气体中被发现，从而有助于我们更好地理解它的行为。当普通的气体被冷却至绝对零度之上的“百万分之一或者十亿分之一”度的时候，超冷量子气体就会生成。这使得超冷量子气体成为了宇宙中最冷的地方。如果超冷量子气体也在由激光制作的光学晶体中产生，那么气体原子会像在固态晶体中一样排列。然而，不同于固体，许多参数都产生了变化，可用于研究人造的量子状态。

论文合著者 Jun-Hui Zheng 解释道：“我们想要称之为量子模拟器，因为这种系统展示了许多在固体中才会发生的事情。采用光学晶体中的超冷量子气体，我们可以理解拓扑绝缘体的基础物理。”

然而，固体与量子气体之间的显著差异就是，云状的气体并不具有“定义好的边缘”。那么，超冷气体中的拓扑绝缘体是如何判定哪里才是它的边缘态呢？歌德大学理论物理研究所 Walter Hofstetter 教授研究小组的研究人员在他们的研究中回答了这一问题。他们在拓扑绝缘体与普通绝缘体之间建造了一个“人工屏障”。它代表了拓扑绝缘体的边缘，导电的边缘状态沿着它形成。

Hofstetter 表示：“在实验中，我们通过量子气体显微镜测量到了的量子关联，对于边缘态进行了描述。哈佛大学、麻省理工学院、以及位于慕尼黑的普朗克量子光学研究所都进行过这种类型的测量。” 量子气体显微镜是一种能在实验中检测到单个原子的仪器。

Hofstetter 补充道：“我们研究的重要意义在于，明确考虑到了量子气体粒子之间的相互作用。这使得研究更加切合实际，但是也更加复杂。复杂计算可以通过超级计算机来进行。欧洲杰出的科学家们在DFG研究单元开展的‘人造规范场和超冷原子中的相互作用的拓扑相’的相关研究，对于我们来说也特别重要。”

价值

这项研究中，科学家们更深入地观测了拓扑绝缘体中的边缘态，从而更进一步地理解了拓扑绝缘体的物理学本质，也为以后进一步研发拓扑绝缘体奠定了基础。